Алгебра высказываний является составной частью одного из современных быстро развивающихся разделов математики – математической логики. Математическая логика применяется в информатике, позволяет моделировать простейшие мыслительные процессы. Одним из занимательных приложений алгебры высказываний – решение логических задач. Объекты алгебры высказываний. Операции над высказываниями. Таблицы истинности. Алгебра – это наука, которая изучает множество некоторых элементов и действия (операции) над ними. Если элементы алгебры – натуральные числа, а операции – сложение и умножение, то это алгебра натуральных чисел. Действия с направленными отрезками (векторами) изучает векторная алгебра. Объектами алгебры высказываний являются высказывания. Высказывание – это истинное или ложное повествовательное предложение. Повествовательное предложение, в котором говорится об одном-единственном событии, называется простым высказыванием. Например, предложение «Луна – спутник Земли» есть простое высказывание, предложение «Не сорить!» не является высказыванием. Высказывания обозначаются большими буквами латинского алфавита. Если высказывание A истинно, то пишут A = 1, если ложно, то используют запись A = 0. Как и в других алгебрах, в алгебре высказываний над ее объектами (высказываниями) определены действия, выполняя которые получают новые высказывания. Объединение двух высказываний в одно при помощи союза «И» называется операцией логического умножения. Полученное таким образом высказывание называется логическим произведением. Среди высказываний особое место занимают те, в таблице истинности которых либо одни единицы, либо только нули. Это означает, что высказывание либо всегда истинно, либо ложно, независимо от истинности входящих в него высказываний. Например, высказывание всегда истинно, а высказывание всегда ложно. Доказать это можно составив таблицу истинности этих высказываний. Сложные высказывания, истинные при любых значениях входящих в них других высказываний, называются тождественно истинными, а высказывания, ложные при любых значениях входящих в них других высказываний, называются тождественно ложными. Среди высказываний встречаются такие, таблицы истинности которых совпадают. Эти высказывания называются эквивалентными. Операции алгебры высказываний обладают следующими важными свойствами: Логическое умножение: Логическое сложение: A·B = B·A A + B = B + A (AB)C = A(BC) (A + B)+ C = A + (B + C) A·A = A A + A = A A·1 = A A + 1 = 1 A·0 = 0 A + 0 = A A(B + C) = AB + AC A + BC = (A + B)(A + C)A + BC = (A + B)(A + C) Отрицание: Формулы, выделенные жирным шрифтом, называются формулами Августа де Моргана (1806–1871). Используя эти формулы, можно, в частности, преобразовывать высказывания: сложные заменять более простыми. В алгебре высказываний, как и в другой алгебре, возможны тождественные преобразования, но логическое сложение и умножение обладают специфическими свойствами A + A = A, AA = A, A + 1 = A. Это приводит к необычности действий над многочленами алгебры высказываний. Пусть нужно перемножить два сложных высказывания: (A + B)(A + C) = AA + AC + AB + BC = A + AB + AC + BC. Рассмотрим теперь два первых слагаемых A + AB = A(1 + B) = A1 = A и аналогично A+ AC = A. Таким образом, окончательно получаем (A + B)(A + C) = A+ BC. Преобразование A + AB = A очень часто встречается в алгебре высказываний и называется «поглощение». Есть еще один вид столь же часто встречающегося тождественного преобразования, которое называется «склеивание». Суть его состоит в следующем: (склеивание произошло по символу B). Соответственно для сложного высказывания склейку можно произвести по символу , то есть имеет место тождественное преобразование.